Hermann
Grassmann nació en Stettin (Alemania) el 15 de abril de 1809 y murió el 26 de
septiembre de 1877 en la misma ciudad. Fue un lingüista y matemático alemán.
También fue físico, humanista, erudito y editor.
Después de terminar en el Instituto, Hermann decidió
estudiar teología, junto a su hermano, en la Universidad de Berlín en 1827. No
cursó ninguna asignatura relacionada con la rama de las ciencias; ni
matemáticas, ni física.
A pesar de no haber realizado nunca estudios relacionados
con las matemáticas, estas eran el campo que más le interesaba, y pasó un año
investigando y preparándose para las pruebas a profesor de matemáticas, a las
que se presentó en 1831 en Berlín.
Obtuvo el permiso para dar clases a los primeros cursos de
los estudios secundarios. En 1832 consiguió una plaza en el instituto donde
trabajaba su padre.
Durante esta época realizó sus primeros trabajos
significativos, que más tarde le llevarían hasta sus realmente innovadoras
ideas.
En 1835, empezó dar clases de física, alemán, latín y
religión en un nuevo centro (Otto Schule). Unos pocos años después aprobó los
exámenes para poder dar clases a cualquier curso de estudios secundarios. En
1847 pidió al ministro de Educación que lo considerara para profesor de
Universidad. Cuando este pidió opinión a un matemático de prestigio (Ernst
Eduard Kummer), dijo que Hermann expresaba los conceptos de forma adecuada, lo
que le impidió dar clases en la Universidad.
Uno de los ensayos de Hermann fue el de las mareas,
elaborado en 1840 y tomando como base varias teorías (la mecánica analítica y
la mecánica celeste), pero exponiéndola mediante métodos vectoriales. Esto
contiene los primeros testimonios recogidos sobre el álgebra lineal y la noción
del espacio vectorial.
En 1844 publica su obra maestra, conocida sobre todo
como Ausdehnungslehre, que se puede traducir como "teoría de la
extensión”. Demostró que si la geometría se hubiera expresado como él decía (de
forma algebraica), no eran las tres dimensiones el número más importante
y, de hecho, habría infinidad de dimensiones interesantes.
Su trabajo no fue en absoluto reconocido como se merecía, y
se tardó en adoptar sus métodos. De hecho, a causa de su imposibilidad de
reconocimiento, tuvo que dedicarse a la lingüística histórica.
En 1840 elaboró un ensayo sobre las mareas donde introdujo
por primera vez el concepto de espacio vectorial y lo que hoy se conoce como
álgebra lineal. En 1944 publicó su obra maestra, Die Lineale Ausdehnungslehre,
ein neuer Zweig der Mathematik, donde presenta su "teoría de las
magnitudes extensivas", la primera formulación del álgebra lineal. Esta
obra era tan avanzada para su tiempo, que fue rechazada como tesis doctoral. En
1853 publicó las leyes de superposición de colores que siguen utilizándose
hoy en día en colorimetría, y en 1861 expuso la primera formulación axiomática
de la aritmética; también escribió sobre cristalografía, electromagnetismo y
mecánica. Sin embargo, jamás pudo conseguir un puesto de profesor universitario
de matemáticas.
Fearnley-Sander (1979) describe la creación del algebra
lineal de Grassmann de este modo:
La definición del espacio lineal
(…) se reconoce abiertamente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros
publicaron la definición formal. En realidad dicha definición había sido
formulada unos treinta años antes por Peato, que había estudiado a fondo el
trabajo matemático de Grassmann. Grassmann no formuló una definición formal _
no existía entonces un lenguaje adecuado_ pero no hay duda de que tuviera claro
el concepto.
Empezando con la colección de “unidades”,
el, efectivamente, definió el espacio lineal libre que generaban; en otros términos,
considera la combinación lineal-formal de tales unidades, y con coeficientes
dados por números reales, define la suma y la multiplicaciones números reales (en
el modo en el que se usan actualmente) y demuestra formalmente las propiedades del
espacio lineal de estas operaciones.
(…)Desarrolla la teoría de la
independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que
podemos encontrar en los textos modernos de algebra lineal. Define la noción de
subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, unión e intersección
de subespacios, y proyección de elementos en los subespacios.
(…)…pocos estuvieron tan cerca
como Grassmann de crear, trabajando en solitario, una nueva disciplina.
Grassmann se guio por la intuición geométrica. El concibió el
área barrida por un segmento que se desliza sobre otro y sobre una línea quebrada
dotada de una orientación, y por, lo
tanto, de un signo, según se recorriera el perímetro del área en un sentido u
otro. Con esto, definió un nuevo producto, el producto que en la actualidad se
le llama producto exterior, ab = a Λ
b que él llamaba producto escalón, íntimamente relacionado con el producto
vectorial, y que, empero, a diferencia de este, no está restringido a una
dimencionalidad fija como en el caso del producto vectorial. Por cierto abuso
de la notación, en particular, algunos profesores y docentes actualmente
representan el producto vectorial con el símbolo del producto exterior Λ, a
pesar de que conceptualmente son diferentes en origen y en formulación. No es
recomendable hacerlo. Incluso aunque podamos relacionar ambas ideas, conviene
diferenciarlas explícitamente. En particular, el producto exterior es
asociativo, mientras que el producto vectorial o producto cruz no lo es al ser
un algebra de Lie.
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