Tarea 7. Histeresis

         El término se deriva de ὑστέρησις, un griego antiguo la palabra que significa "deficiencia" o "a la zaga". Fue acuñado por Sir James Alfred Ewing

Histéresis se refiere a sistemas que tienen memoria, donde los efectos de la corriente de entrada (o estímulo) para el sistema se experimentaron con un cierto retraso. Tal sistema puede mostrar la dependencia del camino, o "memoria de velocidad independiente". Fenómenos de histéresis se producen en materiales magnéticos, ferromagnéticos y ferroeléctricos, así como en materiales con comportamiento elástico, eléctrico y magnético, en las que se produce un retraso entre la aplicación y la eliminación de una fuerza o campo y su efecto subsiguiente. 

La histéresis magnética, es el fenómeno que permite el almacenamiento de información en los Plato (disco duro) de los discos duros o flexibles de los ordenadores: el campo induce una magnetización, que se codifica como un 0 o un 1 en las regiones del disco. Esta codificación permanece en ausencia de campo, y puede ser leída posteriormente, pero también puede ser invertida aplicando un campo en sentido contrario.

Histéresis eléctrica se produce cuando se aplica una variación del campo eléctrico, y la histéresis elástica se produce en respuesta a una fuerza variable. 

El término "histéresis" se utiliza a veces en otros campos, como la economía o la biología , donde se describe un recuerdo o retraso efecto.

En un determinado sistema sin dinámica o de histéresis, es posible predecir la salida del sistema en un instante de tiempo, dada sólo su entrada en ese instante en el tiempo. En un sistema con histéresis, esto no es posible, no hay manera de predecir la salida sin conocer el estado actual del sistema, y no hay manera de saber el estado del sistema sin tener en cuenta la historia de la entrada. Esto significa que es necesario conocer el camino que el seguido de entrada antes de llegar a su valor actual.

Muchos físicos por naturaleza sistemas exhiben histéresis. Una pieza de hierro que se pone en un campo magnético retiene algo de magnetización, incluso después de que se elimina el campo magnético externo. Una vez magnetizado, el hierro se quedará magnetizado por tiempo indefinido. Para desmagnetizar el hierro, sería necesario aplicar un campo magnético en la dirección opuesta. Este es el efecto que proporciona el elemento de memoria en una unidad de disco duro.

Un sistema puede ser diseñado expresamente para exhibir histéresis, sobre todo en la teoría de control, mediante la introducción de una retroalimentación positiva. Por ejemplo, considere un termostato que controla un horno. El horno está apagado o encendido, sin nada en medio. El termostato es un sistema; la entrada es la temperatura, y la salida es el estado del horno. Si se quiere mantener una temperatura de 20 ° C, entonces se podría configurar el termostato para encender el horno cuando la temperatura cae por debajo de 18 ° C, y apagarlo cuando la temperatura supera los 22 ° C. Este termostato tiene histéresis. Si la temperatura es 21 ° C, entonces no es posible predecir si el horno está encendido o apagado sin conocer la historia de la temperatura.

La palabra histéresis se utiliza a menudo específicamente para representar el estado de velocidad independiente. Esto significa que si un conjunto de entradas de X (t) producen una salida Y (t), entonces las entradas X (αt) Producirán una salida Y (αt) para cualquier α> 0. El hierro magnetizado o el termostato tienen esta propiedad. No todos los sistemas con el estado (o, equivalentemente, con la memoria) tienen esta propiedad, por ejemplo, una lineal filtro de paso bajo tiene estado, pero su estado es dependiente de la frecuencia.

TAREA 6. HERMANN GRASSMANN

Hermann Grassmann nació en Stettin (Alemania) el 15 de abril de 1809 y murió el 26 de septiembre de 1877 en la misma ciudad. Fue un lingüista y matemático alemán. También fue físico, humanista, erudito y editor.

Después de terminar en el Instituto, Hermann decidió estudiar teología, junto a su hermano, en la Universidad de Berlín en 1827. No cursó ninguna asignatura relacionada con la rama de las ciencias; ni matemáticas, ni física.

A pesar de no haber realizado nunca estudios relacionados con las matemáticas, estas eran el campo que más le interesaba, y pasó un año investigando y preparándose para las pruebas a profesor de matemáticas, a las que se presentó en 1831 en Berlín.

Obtuvo el permiso para dar clases a los primeros cursos de los estudios secundarios. En 1832 consiguió una plaza en el instituto donde trabajaba su padre.

Durante esta época realizó sus primeros trabajos significativos, que más tarde le llevarían hasta sus realmente innovadoras ideas.

En 1835, empezó  dar clases de física, alemán, latín y religión en un nuevo centro (Otto Schule). Unos pocos años después aprobó los exámenes para poder dar clases a cualquier curso de estudios secundarios. En 1847 pidió al ministro de Educación que lo considerara para profesor de Universidad. Cuando este pidió opinión a un matemático de prestigio (Ernst Eduard Kummer), dijo que Hermann expresaba los conceptos de forma adecuada, lo que le impidió dar clases en la Universidad.

Uno de los ensayos de Hermann fue el de las mareas, elaborado en 1840 y tomando como base varias teorías (la mecánica analítica y la mecánica celeste), pero exponiéndola mediante métodos vectoriales. Esto contiene los primeros testimonios recogidos sobre el álgebra lineal y la noción del espacio vectorial.

En 1844 publica su obra maestra, conocida sobre todo como Ausdehnungslehre, que se puede traducir como "teoría de la extensión”. Demostró que si la geometría se hubiera expresado como él decía (de forma algebraica), no eran las tres dimensiones el número más importante  y, de hecho, habría infinidad de dimensiones interesantes.

Su trabajo no fue en absoluto reconocido como se merecía, y se tardó en adoptar sus métodos. De hecho, a causa de su imposibilidad de reconocimiento, tuvo que dedicarse a la lingüística histórica.

En 1840 elaboró un ensayo sobre las mareas donde introdujo por primera vez el concepto de espacio vectorial y lo que hoy se conoce como álgebra lineal. En 1944 publicó su obra maestra, Die Lineale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik, donde presenta su "teoría de las magnitudes extensivas", la primera formulación del álgebra lineal. Esta obra era tan avanzada para su tiempo, que fue rechazada como tesis doctoral. En 1853 publicó las leyes de superposición de colores que siguen utilizándose hoy en día en colorimetría, y en 1861 expuso la primera formulación axiomática de la aritmética; también escribió sobre cristalografía, electromagnetismo y mecánica. Sin embargo, jamás pudo conseguir un puesto de profesor universitario de matemáticas.

Fearnley-Sander (1979) describe la creación del algebra lineal de Grassmann de este modo:

La definición del espacio lineal (…) se reconoce abiertamente alrededor de 1920, cuando Hermann Weyl y otros publicaron la definición formal. En realidad dicha definición había sido formulada unos treinta años antes por Peato, que había estudiado a fondo el trabajo matemático de Grassmann. Grassmann no formuló una definición formal _ no existía entonces un lenguaje adecuado_ pero no hay duda de que tuviera claro el concepto.

Empezando con la colección de “unidades”, el, efectivamente, definió el espacio lineal libre que generaban; en otros términos, considera la combinación lineal-formal de tales unidades, y con coeficientes dados por números reales, define la suma y la multiplicaciones números reales (en el modo en el que se usan actualmente) y demuestra formalmente las propiedades del espacio lineal de estas operaciones.

(…)Desarrolla la teoría de la independencia lineal de modo extraordinariamente similar a la presentación que podemos encontrar en los textos modernos de algebra lineal. Define la noción de subespacio, independencia, longitud, desdoblamiento, dimensión, unión e intersección de subespacios, y proyección de elementos en los subespacios.

(…)…pocos estuvieron tan cerca como Grassmann de crear, trabajando en solitario, una nueva disciplina.

Grassmann se guio por la intuición geométrica. El concibió el área barrida por un segmento que se desliza sobre otro y sobre una línea quebrada dotada de una orientación, y por, lo tanto, de un signo, según se recorriera el perímetro del área en un sentido u otro. Con esto, definió un nuevo producto, el producto que en la actualidad se le llama producto exterior, ab = a Λ b que él llamaba producto escalón, íntimamente relacionado con el producto vectorial, y que, empero, a diferencia de este, no está restringido a una dimencionalidad fija como en el caso del producto vectorial. Por cierto abuso de la notación, en particular, algunos profesores y docentes actualmente representan el producto vectorial con el símbolo del producto exterior Λ, a pesar de que conceptualmente son diferentes en origen y en formulación. No es recomendable hacerlo. Incluso aunque podamos relacionar ambas ideas, conviene diferenciarlas explícitamente. En particular, el producto exterior es asociativo, mientras que el producto vectorial o producto cruz no lo es al ser un algebra de Lie.

http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/fchamizo/realquiler/fich/jfgh.pdf

TAREA 5. LEYES DE KIRCHHOFF

Tarea 4. LEYES INTEGRALES Y DIFERENCIALES

4. A ¿Borde, limite o frontera?

Para la resolución de una Integral es necesario establecer un límite, el cual estará definido en un intervalo, debajo del signo de integración se deberá indicar el límite con el símbolo ∂, el cual marcara el borde de la operación.

El símbolo ∂ lo definiremos como “frontera de”… así tenemos que la frontera de una frontera es igual a vacío o cero.

4. B Frontera de Frontera no existe

4. C Leyes integrales y diferenciales

Apéndice

Isaac Barrow

Matemático inglés 

Nació en octubre 1630 en Londres.

Cursó estudios en el Trinity de Cambridge en 1644 graduándose en el 1648. 

Editó trabajos de Euclídes, Arquímedes y Apolonio. Enseñó griego en Cambridge y fue despedido en el año 1655 debido a sus puntos de vista. Pasó cuatro años viajando por Europa y cuando regresó a Inglaterraen 1660, fue contratado para enseñar Griego. 

Además fue maestro de geometría en el colegio Gresham de Londres. Fue el primer profesor lucraciano dematemáticas en Cambridge de 1663 a 1669. Newton asistió a sus conferencias, que fueron publicadas en 1683. 

"Ópticas" y "Lecciones geométricas" fueron publicadas en 1669 y 1670 respectivamente con la asistencia de Newton en su preparación. Sirvió como Capellán a Carlos II desde 1670. En 1672 el Rey lo nombró su maestro y luego vice-rector del Colegio Trinity donde colocó los cimientos de la ahora famosa biblioteca. 

Desarrollo un método de determinación de tangentes que encierran aproximados métodos de cálculo, fue el primero en reconocer que la integración y la diferenciación son operaciones inversas. 

Isaac Barrow falleció el 4 de mayo de 1677 en Londres.

TAREA 3. INTENSIVOS Y EXTENSIVOS

Propiedades intensivas:

Son aquellas que quedan totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida, es decir no dependen de la orientación. Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la temperatura.

Propiedades extensivas:

El desplazamiento, la velocidad, la aceleración, la fuerza, el campo eléctrico, etc., que no quedan completamente definidas dando un dato numérico, sino que llevan asociadas una dirección. Estas últimas magnitudes son llamadas extensivas o  vectoriales en contraposición a las primeras llamadas escalares.

Las magnitudes vectoriales quedan representadas por un ente matemático que recibe el nombre de vector. En un espacio euclidiano, de no más de tres dimensiones, un vector se representa por un segmento orientado. Así, un vector queda caracterizado por los siguientes elementos: su longitud o módulo, siempre positivo por definición, y su dirección, la cual puede ser representada mediante la suma de sus componentes vectoriales ortogonales, paralelas a los ejes de coordenadas; o mediante coordenadas polares, que determinan el ángulo que forma el vector con los ejes positivos de coordenadas.

Se representa como un segmento orientado, con una dirección, dibujado de forma similar a una "flecha". Su longitud representa el módulo del vector, la recta indica la dirección, y la "punta de flecha" indica su sentido.

Magnitudes Intensivas	Magnitudes Extensivas
Longitud	Velocidad
Densidad	Fuerza
Volumen	Aceleración
Potencia	Movimiento
Temperatura	Momento Angular
Trabajo mecánico	Superficie
Campo magnético	Inducción magnética
Campo eléctrico	Inducción eléctrica.

Tarea 2. SPIN

2A.
Un electrón ligado a un átomo gira sobre sí mismo, pero no podemos calcular su momento angular de rotación del mismo modo que calculamos el de la Tierra.
La idea de que el electrón tiene un movimiento de rotación fue propuesta en 1926 por G. Uhlenbeck y S. Goudsmit para explicar las características de los espectros de átomos con un solo electrón. La existencia del espín (rotación) del electrón está confirmada por muchos resultados experimentales, y se manifiesta de forma muy directa en el experimento de Stern-Gerlach, realizado en 1924.
En la simulación de este experimento, se comprobará la existencia del espín del electrón observando que un haz de átomos se divide en dos trazas simétricas al eje X. A partir de la medida de la desviación del haz, determinaremos el valor del magnetón de Bohr.
La simulación es similar al experimento de Thomson que realizamos para determinar la naturaleza de los denominados rayos catódicos y medir la razón entre la carga y la masa del electrón.

Se postula la existencia de un momento angular intrínseco del electrón llamado espín S. Como el electrón es una partícula cargada, el espín del electrón debe dar lugar a un momento magnético µ, intrínseco o de espín. La relación que existente entre el vector momento magnético y el espín es

Donde g se denomina razón giromagnética del electrón, su valor experimental es aproximadamente 2.

El número de orientaciones del vector momento angular respecto a un eje Z fijo es 2S+1, tenemos para el caso del espín S=1/2 que la componente Z tiene dos valores permitidos  . Por lo que mB se denomina magnetón de Bohr.

Sabiendo que carga del electrón e=1.6·10^-19 C, la masa m=9.1·10^-31 kg y la constante de Planck h=6.63·10^-34/(2p) Js. Obtenemos m_B =9.27 10^-24 Am².

La energía de un dipolo magnético  µ en un campo magnético B que tiene la dirección del eje Z es el producto escalar

U=-µ·B=-µ_z·B=±µ_B·B

Si B es variable en la dirección Z, el dipolo magnético experimenta una fuerza

que lo desviará de su trayectoria rectilínea. Si el dipolo magnético es paralelo al campo magnético, tiende a moverse en la dirección en la que el campo magnético aumenta, mientras que si el dipolo magnético es antiparalelo al campo magnético se moverá en la dirección en la que el campo magnético disminuye.

En el experimento se usa un haz de átomos hidrogenoides, como plata, litio, sodio, potasio y otros que constan de capas electrónicas completas salvo la última en la que tienen un electrón. El momento angular orbital l de dicho electrón es cero, por lo que está en el estado s.

Se selecciona un haz de átomos de una velocidad dada y se le hace atravesar una región en la que existe un campo magnético no homogéneo, tal como se muestra en la figura.

1.     Movimiento del átomo en la región en la que se ha establecido un gradiente de campo magnético
Suponiendo que el gradiente de campo magnético es constante, la aceleración a lo largo del eje Z es constante, a lo largo del eje X es cero. Tenemos un movimiento curvilíneo bajo aceleración constante.

Si la región en la que hay un gradiente de campo magnético tiene una anchura L, la desviación que experimenta el haz, véase la figura, vale

1.     Movimiento del átomo fuera de dicha región
Cuando el átomo de masa m abandona la región en la que hay un gradiente de campo magnético, sigue una trayectoria rectilínea con velocidad igual a la que tenía al abandonar la citada región. Las componentes de la velocidad serán

La desviación total en la pantalla será

Midiendo d despejamos en dicha ecuación el valor m_B del magnetón de Bohr.
 

2B. Experimento de Stern-Gerlach

Se calienta una sustancia paramagnética en un horno que emite un haz de átomos hidrogenoides eléctricamente neutros con la misma velocidad v, que siguen una trayectoria rectilínea hasta que se encuentran en una región en la que hay un gradiente de campo magnético. Sobre la placa de observación colocada perpendicularmente al haz observamos dos trazas finas del haz. Estas trazas son simétricas respecto de la dirección incidente, tal como se ve en la figura.
Los resultados del experimento indican que el hecho de que se obtenga dos trazas distintas y simétricas prueba que el momento magnético no puede tomar más que dos orientaciones con respecto al campo magnético B. El momento magnético m del átomo es igual en módulo al magnetón de Bohr m_B.

La simulación que se describe en esta página complementa la experiencia de Stern-Gerlach y comprueba que el momento magnético medio de los átomos depositados en la placa es inversamente proporcional a la temperatura absoluta (ley de Curie).

La energía de un átomo de momento magnético m en el campo magnético B viene dado por el producto escalar

E=-m·B

• Para los átomos cuyo momento m  es paralelo a B vale  E₁=-μ_BB
• Para los átomos cuyo momento m es antiparalelo a B vale E₂=+μ_BB

Los átomos pueden estar en uno u otro de los dos niveles de energía E₁ y E₂. Aplicando la fórmula de la distribución de Boltzmann podemos calcular la proporción de átomos que ocupan cada uno de los dos niveles de energía

Naturalmente, n₂=1-n₁

n₁ es mayor que n₂, ya que la exponencial decreciente en el denominador no puede ser mayor que la unidad, ni menor que cero. Por tanto, hay más átomos con el momento paralelo al campo magnético que con el momento magnético apuntando en sentido contrario al campo. La sustancia presenta un momento magnético no nulo.

<m>=n₁ m_B+n₂(-m_B)

Como es mucho menor que la unidad (por ejemplo, si B=1 T y la temperatura T=300 K el cociente vale 0.0045. Téngase en cuenta que m_B=9.3 10^-24 A m², y k=1.38 10^-23 J/K), utilizando el desarrollo en serie e^x=1+x+... se obtiene

El momento magnético medio es inversamente proporcional a la temperatura absoluta de la sustancia, el comportamiento de los materiales paramagnéticos.

2C. Tabla de partículas

Leptones

	Leptones cargados				Neutrinos
	Nombre	Símbolo	Carga	Masa en reposo (MeV)	Nombre	Símbolo	Carga	Masa en reposo (MeV)
1ª generación	Electrón		−1	0,511	Neutrino electrónico		0	< 3·10−6
	Positrón		+1		Antineutrino electrónico		0
2ª generación	Muon		−1	105,658	Neutrino muónico		0	< 0,19
	Antimuón		+1		Antineutrino muónico		0
3ª generación	Tauón		−1	1776,99	Neutrino tauónico		0	< 18,2
	Antitauón		+1		Antineutrino tauónico		0

Bosones

Nombre	Símbolo	Carga eléctrica (e)	Carga de color	Espín	Masa en reposo (GeV/c²)	Existencia	Vida media	Desintegraciones más importantes
Fotón		Neutra	Neutra	1	Nula	Confirmada	Estable	---
Bosón W		± 1	Neutra	1	80,425	Confirmada	3·10-25
Bosón Z		Neutra	Neutra	1	91,187	Confirmada	3·10-25	---
Gluón	g	Neutra	Color + Anticolor	1	Nula	Confirmada	Estable	---
Gravitón	G	Neutra	Neutra	2	Nula	Hipotética	Estable	---
Bosón de Higgs	H	Neutra	Neutra	0	≈ 125.5	Confirmada	Inestable

Hidrogeno

Cuando se examinan las líneas del espectro del hidrógeno a una resolución muy alta, se encuentran que son dobletes poco espaciados entre sí. Esta división se llama estructura fina y fue una de las primeras evidencias experimentales del espín electrónico.

Las pequeñas divisiones de la línea espectral, se atribuye a una interacción entre el espín del electrón S, y el momento angular orbital L. Se le llamainteracción spin-órbita.

De acuerdo con la teoría de Bohr, la conocida línea roja del hidrógeno, H-alfa, es una sola línea. La aplicación directa de la ecuación de Schrödinger al átomo de hidrógeno, da el mismo resultado. Si se calcula la longitud de onda de esta línea, usando la expresión de energía de la teoría de Bohr, se obtiene 656,11 nm para el hidrógeno, considerando el núcleo como un centro fijo. Si se utiliza la masa reducida, se obtiene 656,47 nm para el hidrógeno y 656,29 nm para el deuterio. La diferencia entre las líneas del hidrógeno y el deuterio, es de aproximadamente 0,2 nm y la división de cada una de ellas es de alrededor de 0,016 nm, correspondiente a una diferencia de energía de alrededor de unos 0,000045 eV. Esto corresponde a un campo magnético interno sobre el electrón, de aproximadamente 0,4 Tesla

Existen dos tipos distintos de moléculas diatómicas de hidrógeno que difieren en la relación entre los espines de sus núcleos:

·         Orto - hidrógeno: los espines de los dos protones se encuentran paralelos y conforman un estado triplete.

·         Para - hidrógeno: los espines de los dos protones se encuentran antiparalelos y conforman un estado singlete.

En condiciones normales de presión y temperatura el hidrógeno gaseoso contiene aproximadamente un 25% de la formapara y un 75% de la forma orto, también conocida como "forma normal". La relación del equilibrio entre orto - hidrógeno y para - hidrógeno depende de la temperatura, pero puesto que la forma orto es un estado excitado, y por tanto posee una energía superior, es inestable y no puede ser purificada. A temperaturas muy bajas, el estado de equilibrio está compuesto casi exclusivamente por la forma para. Las propiedades físicas del para - hidrógeno puro difieren ligeramente de las de la forma normal (orto). La distinción entre formas orto / para también se presenta en otras moléculas o grupos funcionales que contienen hidrógeno, tales como el agua o el metileno.

La interconversión no catalizada entre el para - hidrógeno y el orto - hidrógeno se incrementa al aumentar la temperatura; por esta razón, el H₂ condensado rápidamente contiene grandes cantidades de la forma orto que pasa a la forma paralentamente.¹⁴ La relación orto / para en el H₂ condensado es algo importante a tener en cuenta para la preparación y el almacenamiento del hidrógeno líquido: la conversión de la forma orto a la forma para es exotérmica y produce el calor suficiente para evaporar el hidrógeno líquido, provocando la pérdida del material licuado. Catalizadores para la interconversión orto / para, tales como compuestos de hierro, son usados en procesos de refrigeración con hidrógeno.

2D. RESONANCIA MAGNETICA NUCLEAR

Es un fenómeno físico basado en las propiedades mecánico-cuánticas de los núcleos atómicos. RMN también se refiere a la familia de métodos científicos que explotan este fenómeno para estudiar moléculas (espectroscopia de RMN), macromoléculas (RMN biomolecular), así como tejidos y organismos completos (imagen por resonancia magnética).
Todos los núcleos que poseen un número impar de protones o neutrones tienen un momento magnético y un momento angular intrínseco, en otras palabras, tienen un espín > 0. Los núcleos más comúnmente empleados en RMN son el protón (¹H, el isótopo más sensible en RMN después del inestable tritio, ³H), el ¹³C y el ¹⁵N, aunque los isótopos de núcleos de muchos otros elementos (²H, ¹⁰B, ¹¹B, ¹⁴N, ¹⁷O, ¹⁹F, ²³Na, ²⁹Si, ³¹P, ³⁵Cl, ¹¹³Cd, ¹⁹⁵Pt) son también utilizados.
Las frecuencias a las cuales resuena un núcleo atómico (i. e. dentro de una molécula) son directamente proporcionales a la fuerza del campo magnético ejercido, de acuerdo con la ecuación de la frecuencia de precesión de Larmor. La literatura científica hasta el 2008 incluye espectros en un gran intervalo de campos magnéticos, desde 100 nT hasta 20 T). Los campos magnéticos mayores son a menudo preferidos puesto que correlacionan con un incremento en la sensibilidad de la señal. Existen muchos otros métodos para incrementar la señal observada. El incremento del campo magnético también se traduce en una mayor resolución espectral, cuyos detalles son descritos por el desplazamiento químico y el efecto Zeeman.
La RMN estudia los núcleos atómicos al alinearlos a un campo magnético constante para posteriormente perturbar este alineamiento con el uso de un campo magnético alterno, de orientación ortogonal. La resultante de esta perturbación es el fenómeno que explotan las distintas técnicas de RMN. El fenómeno de la RMN también se utiliza en la RMN de campo bajo, la RMN de campo terrestre y algunos tipos de magnetómetros.

http://www.fullquimica.com/2010/10/particulas-subatomicas-fundamentales.html 

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/sternGerlach/sternGerlach.html